The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(O(1), O(n^2)).

0 CpxTRS
↳1 CpxTrsToCdtProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)
↳2 CdtProblem
↳3 CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^1))), 237 ms)
↳4 CdtProblem
↳5 CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^2))), 592 ms)
↳6 CdtProblem
↳7 CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^2))), 631 ms)
↳8 CdtProblem
↳9 SIsEmptyProof (⇔, 0 ms)
↳10 BOUNDS(O(1), O(1))

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
if(x, y, y) → y
if(if(x, y, z), u, v) → if(x, if(y, u, v), if(z, u, v))
if(x, if(x, y, z), z) → if(x, y, z)
if(x, y, if(x, y, z)) → if(x, y, z)

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) CpxTrsToCdtProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Converted CpxTRS to CDT

(2) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

if(true, z0, z1) → z0
if(false, z0, z1) → z1
if(z0, z1, z1) → z1
if(if(z0, z1, z2), z3, z4) → if(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4))
if(z0, if(z0, z1, z2), z2) → if(z0, z1, z2)
if(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → if(z0, z1, z2)
Tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
S tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:

if

Defined Pair Symbols:

IF

Compound Symbols:

c3, c4, c5

(3) CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^1))) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
We considered the (Usable) Rules:

if(true, z0, z1) → z0
if(false, z0, z1) → z1
if(z0, z1, z1) → z1
if(if(z0, z1, z2), z3, z4) → if(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4))
if(z0, if(z0, z1, z2), z2) → if(z0, z1, z2)
if(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → if(z0, z1, z2)
And the Tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(IF(x1, x2, x3)) = [3] + [2]x1   
POL(c3(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   
POL(c4(x1)) = x1   
POL(c5(x1)) = x1   
POL(false) = 0   
POL(if(x1, x2, x3)) = [4] + [4]x1 + [2]x2 + [2]x3   
POL(true) = 0   

(4) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

if(true, z0, z1) → z0
if(false, z0, z1) → z1
if(z0, z1, z1) → z1
if(if(z0, z1, z2), z3, z4) → if(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4))
if(z0, if(z0, z1, z2), z2) → if(z0, z1, z2)
if(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → if(z0, z1, z2)
Tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
S tuples:

IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
K tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
Defined Rule Symbols:

if

Defined Pair Symbols:

IF

Compound Symbols:

c3, c4, c5

(5) CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^2))) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
We considered the (Usable) Rules:

if(true, z0, z1) → z0
if(false, z0, z1) → z1
if(z0, z1, z1) → z1
if(if(z0, z1, z2), z3, z4) → if(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4))
if(z0, if(z0, z1, z2), z2) → if(z0, z1, z2)
if(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → if(z0, z1, z2)
And the Tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(IF(x1, x2, x3)) = [1] + [3]x1 + x2 + x1·x3 + [2]x12 + [2]x1·x2   
POL(c3(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   
POL(c4(x1)) = x1   
POL(c5(x1)) = x1   
POL(false) = 0   
POL(if(x1, x2, x3)) = [2] + [3]x1 + [2]x2 + x3 + x1·x3 + [2]x1·x2   
POL(true) = [1]   

(6) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

if(true, z0, z1) → z0
if(false, z0, z1) → z1
if(z0, z1, z1) → z1
if(if(z0, z1, z2), z3, z4) → if(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4))
if(z0, if(z0, z1, z2), z2) → if(z0, z1, z2)
if(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → if(z0, z1, z2)
Tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
S tuples:

IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
K tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
Defined Rule Symbols:

if

Defined Pair Symbols:

IF

Compound Symbols:

c3, c4, c5

(7) CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^2))) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
We considered the (Usable) Rules:

if(true, z0, z1) → z0
if(false, z0, z1) → z1
if(z0, z1, z1) → z1
if(if(z0, z1, z2), z3, z4) → if(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4))
if(z0, if(z0, z1, z2), z2) → if(z0, z1, z2)
if(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → if(z0, z1, z2)
And the Tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(IF(x1, x2, x3)) = [3]x1 + x3 + [2]x1·x3 + x1·x2   
POL(c3(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   
POL(c4(x1)) = x1   
POL(c5(x1)) = x1   
POL(false) = [3]   
POL(if(x1, x2, x3)) = [2] + [3]x1 + x2 + [2]x3 + [2]x1·x3 + x1·x2   
POL(true) = 0   

(8) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

if(true, z0, z1) → z0
if(false, z0, z1) → z1
if(z0, z1, z1) → z1
if(if(z0, z1, z2), z3, z4) → if(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4))
if(z0, if(z0, z1, z2), z2) → if(z0, z1, z2)
if(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → if(z0, z1, z2)
Tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
S tuples:none
K tuples:

IF(if(z0, z1, z2), z3, z4) → c3(IF(z0, if(z1, z3, z4), if(z2, z3, z4)), IF(z1, z3, z4), IF(z2, z3, z4))
IF(z0, if(z0, z1, z2), z2) → c4(IF(z0, z1, z2))
IF(z0, z1, if(z0, z1, z2)) → c5(IF(z0, z1, z2))
Defined Rule Symbols:

if

Defined Pair Symbols:

IF

Compound Symbols:

c3, c4, c5

(9) SIsEmptyProof (EQUIVALENT transformation)

The set S is empty

(10) BOUNDS(O(1), O(1))